Bilangan - Matematika SMP/MTs

Web Ayas. Bilangan
1. Operasi pada Bilangan Bulat
Operator pada bilangan bulat meliputi:

a. penjumlahan $\left ( + \right )$
b. pengurangan $\left ( - \right )$
c. perkalian $\left ( \times \right )$
d. pembagian $\left ( \div \right )$

2. Sifat-Sifat Bilangan Bulat

a. Penjumlahan
- Tertutup: $\left (a+b \right )=c$
- Komutatif: $\left (a+b \right )=\left (b+a \right )$
- Asosiatif: $\left ( a+b \right )+c=a+\left ( b+c \right )$
- Identitas: $a+0=0+a=a$

b. Pengurangan
Lawan dari penjumlahan: $a – b = a + (−b)$

c. Perkalian
- Tertutup: $a\times b=c$
- Komutatif: $a\times b=b\times a$
- Asosiatif: $a\times \left ( b\times c \right )=\left ( a\times b \right )\times c$
- Distributif: a(b ± c) = ab ± ac
- Identitas: a ×1=1× a = a

d. Pembagian
Lawan dari perkalian : $a\div b=a\times \frac{1}{b}$

3. Operasi Hitung pada Pecahan

a. $a\frac{m}{n}=\frac{a\times n+m}{n}$

b. $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}$

c. $\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm cb}{bd},b,d\neq 0$

d. $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},b,d\neq 0$

e. $\frac{a}{b}\div \frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc},b,c\neq 0$

4. Bilangan berpangkat
Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat :

a. $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$

b. $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

c. $\left ( a\times b \right )^{n}=a^{n}\times b^{n}$

d. $\left ( a^{m} \right )^{n}=a^{m\times n}$

e. $\left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$

f. $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$

5. Bentuk akar

1. $\sqrt[n]{a\times a\times a...a}=a$
a=sebanyak n

2. $\sqrt[m]{a^{n}}=a^{\frac{n}{m}}$

3. $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$

4. $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

5. $n\sqrt{a}+m\sqrt{a}=\left ( n+m \right )\sqrt{a}$

6. $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{a\times b}$

7. $\sqrt{a^{2}\times b}=a\sqrt{b}$

Rumus cepat

$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$

Contoh

$\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

Contoh soal dan pembahasan

1. Bentuk sederhana dari $\frac{3^{\frac{2}{8}}\times 27^{\frac{7}{12}}}{9^{\frac{3}{2}}\times 81^{\frac{1}{2}}}$ adalah...

A. 27            C. $\frac{1}{9}$

B. $\frac{1}{3}$            D. $\frac{1}{27}$

Pembahasan

$\frac{3^{\frac{2}{8}}\times 27^{\frac{7}{12}}}{9^{\frac{3}{2}}\times 81^{\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{2}{8}}\times 3^{3\times \frac {7}{12}}}{3^{2\times \frac{3}{2}}\times 3^{4\frac{1}{2}}}=\frac{3^{\frac{2}{8}}\times 3^{3\times \frac{7}{12}}}{3^3\times 3^2}=\frac{3^{\frac{2}{8}+\frac{7}{4}}}{3^{3+2}}$

$=3^{\frac{2}{8}+\frac{7}{4}-5}=3^{\frac{2+14-40}{8}}=3^{\frac{-24}{8}}=3^{-3}=\frac{1}{27}$

JAWABAN = D

2. Soal Setara tingkat UN

Bilangan yang senilai dengan $\frac{7}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$ adalah...

A. $\frac{7\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}{4}$ B. $\frac{7\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}{2}$

C.$\frac{7\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}{10}$ D. $\frac{7\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )}{4}$

Pembahasan

$\frac{7}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}=\frac{7}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

$=\frac{7\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}{\left ( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right )\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}$

$=\frac{7\left ( \sqrt{7}+\sqrt{3} \right )}{4}$

JAWABAN = A

3. Soal Setara Tingkat UN
Dalam kompetisi Matematika, setiap jawaban benar diberi nilai 4, salah diberi nilai –2, dan tidak dijawab diberi nilai –1. Dari 40 soal yang diberikan, Rini berhasil menjawab benar 30 dan salah 6. Skor yang diperoleh Rini adalah...

A. 114
B. 110
C. 108
D. 104

Pembahasan:
Jawaban Rini:
Benar = 30
Salah = 6
Tidak dijawab = 40 – 30 – 6 = 4

Skor Rini$=\left ( 30\times 4 \right )+\left ( 6\times -2 \right )+\left ( 4\times -1 \right )$
$=120-12-4=104$

JAWABAN = D

4. Hasil dari $3\sqrt{12}+2\sqrt{3}$ adalah...

A. $8\sqrt{15}$ B. $5\sqrt{15}$

C. $8\sqrt{3}$ D. $5\sqrt{3}$

Pembahasan
$3\sqrt{12}+2\sqrt{3}=3\sqrt{4\times 3}+2\sqrt{3}$

$=\left ( 3\sqrt{4}\times \sqrt{3} \right )+2\sqrt{3}$

$=\left ( 3\times 2\times \sqrt{3} \right )+2\sqrt{3}$

$=6\sqrt{3}+2\sqrt{3}$

$=8\sqrt{3}$

JAWABAN = C

Tags: Pelajaran SMP